Analyyttisten funktioiden renkaat

Kompleksitason alueessa G määritellyille analyyttisille (holomorfisille) kuvauksille voidaan määritellä yhteen- ja kertolasku pisteittäin. Näin saadaan aikaan rengas H(G). On Bersin klassinen tulos vuodelta 1948, että kaksi tällaista rengasta ovat keskenään isomorfiset, jos ja vain jos vastaavat alueet ovat keskenään konformisesti ekvivalentit. Niinpä minkä tahansa renkaisiin liittyvän algebrallisen invariantin avulla voidaan määritellä konformi-invariantti. Becker, Henson ja Rubel julkaisivat vuonna 1980 laajan artikkelin [BHR80], jossa he tutkivat ensimmäisen kertaluvun logiikan avulla määriteltäviä renkaiden invariantteja ja osoittivat, että käytännössä kaikki klassiset kompleksianalyysissä esiintyvät konformi-invariantit voidaan määritellä tällä tavoin, jos renkaan struktuuri laajennetaan kompleksikertoimiseksi algebraksi. Artikkelin viimeiseen lukuun tekijät olivat koonneet listan avoimista kysymyksistä, joista useat ovat jo ratkenneet mutta suurin osa on vielä auki.

Huuskonen on julkaissut analyyttisten funktioiden renkaista kaksi artikkelia. Artikkelissa [Hu91] konstruoidaan joukko-opin malli, johon sisältyy määriteltävä epäkategorinen alue. Toisin sanoen tässä mallissa on kompleksitason alue, jota vastaavan renkaan ensimmäisen kertaluvun teoria ei riitä määräämään aluetta konformista ekvivalenssia vaille yksikäsitteisesti. Tämä on vastaus yhteen Beckerin, Hensonin ja Rubelin esittämistä avoimista ongelmista. Sama konstruktio ratkaisee toisenkin heidän artikkelissaan esitetyistä ongelmista.

Artikkelissa [Hu94] osoitetaan, että vakiofunktioiden joukko on määriteltävä jokaisessa analyyttisten funktioiden renkaassa kaavalla, joka ei riipu alueesta. Tästä seuraa, että kaikki artikkelin [BHR80] tulokset yleistyvät koskemaan tilannetta, jossa kieleen ei sisälly eksplisiittistä vakiot määrittelevää predikaattia.

Monet artikkelissa [BHR80] esitetyistä avoimista kysymyksistä koskevat erilaisia luonnollisella tavalla määriteltyjä renkaan H(C) alirenkaita. Näiden ratkaisemisessa voi olla hyötyä siitä Huuskosen toistaiseksi julkaisemattomasta huomiosta, että useimmat tekniikat perustuvat oleellisesti renkaan alkioiden keskinäisen jaollisuuden yksinkertaiseen karakterisointiin sekä vakiofunktioiden käyttöön. Tämä johtaa seuraavanlaiseen määritelmään. Aluetta G vastaavan renkaan H(G) alirengas R on säännöllinen, jos se sisältää kaikki polynomit ja kaikki ne alkioidensa osamäärät, jotka sisältyvät renkaaseen H(G). Osoittautuu, että useat tunnetut tulokset, mm. vakiofunktioiden määriteltävyys, yleistyvät kaikille säännöllisille alirenkaille.

Esimerkiksi seuraavanlaiset kysymykset vaikuttavat hedelmällisiltä säännöllisiin alirenkaisiin liittyviltä tutkimuskohteilta:

Mitkä tunnetut konkreettiset esimerkit alirenkaista ovat säännöllisiä? Rajoitettujen funktioiden rengas on toistaiseksi ainoa tunnettu luonnollinen, epätriviaali vastaesimerkki.
Millaisissa säännöllisissä alirenkaissa reaalivakioiden joukko on määriteltävä? Tämä on ekvivalenttia monen muun käsitteen määriteltävyyden kanssa. Huuskonen ja Törneblom ovat osoittaneet, että reaalivakiot voidaan määritellä kaikkien sellaisten renkaiden H(G) kaikissa säännöllisissä alirenkaissa, joissa alueen G komplementti sisältää epätriviaalin polun jäljen. Toisaalta niitä ei voi määritellä kompleksikertoimisten polynomien renkaassa, joka on H(C):n säännöllinen alirengas. Näistä tuloksista on artikkeli valmisteilla.
Millaiset kaikkia renkaita H(G) koskevat tulokset yleistyvät kaikkiin niiden säännöllisiin alirenkaisiin? Mitkä yleistyvät sellaisiin säännöllisiin alirenkaisiin, joissa reaalivakiot ovat määriteltäviä? Logiikassa tunnetaan monia tapoja karakterisoida syntaktisesti kaavat, joiden totuus säilyy joissakin semanttisesti määritellyissä mallien operaatioissa. Sama voidaan mahdollisesti tehdä myös säännöllisten alirenkaiden tapauksessa. Törneblom on käsitellyt asiaa Pro Gradu -työssään, jonka on määrä valmistua vuoden 2003 aikana.
Mitä voidaan sanoa alueesta, jos tunnetaan (sopivassa täsmällisessä mielessä) kaikkien sen säännöllisten alirenkaiden ensimmäisen kertaluvun teoriat? Tiedetään, että on olemassa konformisesti ekvivalentteja alueita, jotka voidaan erottaa toisistaan säännöllisten alirenkaiden teorioiden avulla. Toisaalta kahden alueen välinen rationaalibijektio indusoi säännöllisten alirenkaiden välille luonnollisen isomorfismin. Tällaisia havaintoja lukuunottamatta kysymys on vielä tutkimatta.

Samaan aihepiiriin liittyy myös kysymys analyyttisten funktioiden renkaiden koodaamisesta toisen kertaluvun lukuteoriassa. Käänteinen matematiikka tutkii sitä, mitkä analyysin tulokset vastaavat minkinlaisia oletuksia luonnollisten lukujen osajoukkojen olemassaolosta. Tutkimusmetodina on reaali- ja kompleksilukujen sekä niiden avointen osajoukkojen ja jatkuvien funktioiden koodaaminen luonnollisten lukujen osajoukkojen avulla. Tarkoituksena on selvittää, miten käänteisen matematiikan menetelmiä voidaan soveltaa analyyttisten funktioiden renkaisiin. Vesanen tekee aiheesta lisensiaatintutkimusta Huuskosen ohjauksessa. Hän on kirjoittanut Pro Gradu -työnsä käänteisestä matematiikasta.

Viitteet

BHR80	J. Becker, W. Henson ja L. A. Rubel: First-order conformal invariants, Ann. of Math. 112 (1980), 123--178.
Hu91	T. Huuskonen: The construction of a definable non-categorical domain, Zeitschr. Math. Logik und Grundl. Math. 37 (1991), 217--226.
Hu94	T. Huuskonen: Constants are definable in rings of analytic functions, Proc. Amer. Math. Soc. 122 (1994), 697--702.