Tunnuksen selitys

Tunnus kuvaa sellaisen kvasikonformisen kaaren konstruointia, jonka Hausdorffin dimensio on suurempi kuin yksi. Olkoon Q tason suljettu neliö, jonka sivun pituus on 1. Valitaan seuraavan kuvan mukaiset Q:n osaneliöt ja , :

Olkoon neliöiden sivu r>1/4.

Valitaan sellainen tason homeomorfismi itselleen, että on identtinen kuvaus neliön Q ulkopuolelle ja kuvaa kunkin neliön neliölle luonnollisella yhdenmuotoiskuvauksella. Lisäksi valitaan K-kvasikonformiseksi jollakin K:lla.

Määritellään tason homeomorfismi siten, että = neliöiden ulkopuolella ja , missä ja ovat luonnollisia yhdenmuotoiskuvauksia. Myös on K-kvasikonforminen. Iteroimalla konstruktiota saamme jonon K-kvasikonformisia kuvauksia , ,..., joka suppenee kohti tason K-kvasikonformista kuvausta f. Tämä kuvaus kuvaa janan [a,b] kaarelle, jonka Hausdorffin dimensio on d = log 4/log (1/r). Kuvassa r = 1/3 ja d = 1,2619...

Viite: F.W. Gehring ja J. Väisälä, Hausdorff dimension and quasiconformal mappings, J. London Math. Soc. 6, 1973, 504-512.

[Helsingin yliopiston kotisivulle]